1.1.3-方向导数和梯度

方向导数

方向导数描述函数在某点沿特定方向的变化率。设函数$f(\mathbf{x})$在点${\mathbf{x}}_0$处可微，$\mathbf{u}=(u_1,u_2,\dots ,u_n)$为单位向量，则$f$在${\mathbf{x}}_0$沿$\mathbf{u}$方向的方向导数定义为：

$$D_{\mathbf{u}}f({\mathbf{x}}_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f({\mathbf{x}}_0+h\mathbf{u})-f({\mathbf{x}}_0)}{h}$$

对于二元函数$f(x,y)$，若方向$\mathbf{u}$与$x$轴夹角为$\theta$，则方向导数可表示为：

$$D_{\mathbf{u}}f=\frac{\partial f}{\partial x}\cos \theta +\frac{\partial f}{\partial y}\sin \theta$$

梯度

梯度是一个向量，表示函数在某点增长最快的方向及其变化率。对于多元函数$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$，其梯度定义为：

$$\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$$

梯度性质：

1. 方向导数最大值等于梯度模长： $$\underset{\Vert \mathbf{u}\Vert =1}{\max }{D}_{\mathbf{u}}f=\Vert \nabla f\Vert$$
2. 梯度方向是函数增长最快的方向，负梯度方向是函数下降最快的方向。

梯度与方向导数的关系

方向导数可表示为梯度与方向向量的点积：

$$D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot \mathbf{u}$$

当$\mathbf{u}$与$\nabla f$同向时，方向导数取得最大值。

总结

概念	定义	关键公式
方向导数	沿特定方向的变化率	$D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot \mathbf{u}$
梯度	最大变化率方向及大小	$\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$