1.1.2-偏导数和偏微分

偏导数

偏导数的定义

对于多元函数 $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$，其在点 $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ 处关于 $x_i$ 的偏导数定义为：

$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a_1,\dots ,a_i+h,\dots ,a_n)-f(a_1,\dots ,a_n)}{h}$$

表示固定其他变量（视为常数）时，函数沿 $x_i$ 方向的变化率。

偏导数的计算

步骤：

1. 对指定变量求导
2. 将其他变量视为常数

示例：
设 $f(x,y)=x^{2}y+y^3$，则：

• 对 $x$ 的偏导：

$$\frac{\partial f}{\partial x}=2xy$$

• 对 $y$ 的偏导：

$$\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+3y^2$$

几何意义

• $\frac{\partial f}{\partial x}$ 表示曲面 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处沿 $x$ 轴方向的切线斜率。
• $\frac{\partial f}{\partial y}$ 表示沿 $y$ 轴方向的切线斜率。

高阶偏导数

对偏导数再次求导得到高阶偏导数：

二阶偏导数：

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$$

Clairaut 定理：
若二阶混合偏导数连续，则：

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$$

偏微分

偏微分是偏导数与自变量微分的乘积：

$$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$$

示例：
对于 $f(x,y)=x^{2}y+y^3$，全微分为：

$$df=(2xy)dx+(x^2+3y^2)dy$$

应用

• 梯度向量：$\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)$。

• 判断多元函数极值。

• 求解偏微分方程（如热传导方程）。

注意事项

1. 偏导数存在不一定函数连续。
2. 偏导数相等需要满足连续性条件。
3. 全微分需所有偏导数连续时才存在。