1.1.1-导数与微分

导数的概念

定义

函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime }(x_0)$ 是函数在该点的瞬时变化率：

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

• 若极限存在，则称函数在$x_0$处可导。

几何意义

导数是函数图像在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线斜率。

基本导数公式

• 常数函数： $(C{)}^{\prime }=0$
• 幂函数： $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$
• 指数函数： $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$
• 对数函数： $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$
• 三角函数： $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

微分的概念

定义

函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的微分 $dy$ 是函数变化的线性近似：

$$dy=f^{\prime }(x_0)\cdot dx$$

• $dx$ 是自变量$x$的微小变化量。
• 微分$dy$表示因变量$y$ 的近似变化量。

几何意义

微分对应切线在$x_0$处的纵向变化量。

求导法则

四则运算

• 加法：

$(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$

• 减法：

$(u-v{)}^{\prime }=u^{\prime }-v^{\prime }$

• 乘法：

$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$

• 除法：

${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$

链式法则（复合函数求导）

若 $y=f(g(x))$，则：

$$\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$

导数与微分的关系

• 导数$f^{\prime }(x)$是微分系数，即 $\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(x)$。

• 微分运算本质是求导后乘以$dx$，即$dy=f^{\prime }(x)dx$。